第八章第4节小结

发布时间:2021-07-24 07:44:34

第八章 多元函数微分法
第四节 一.链式法则 多元复合函数的求导法则

v ?z 练*1】 【练* 】 设z = arctan , u = x ? y , v = x + y , 求 . u ?y ? z ? z ? u ?z ? v = ? + ? 【解 】 ?y ?u ? y ? v ?y
先画链式图

x

1 v 1 1 ? = ? ( ? 2 ) ? ( ?1) + 2 2 v u v u 1+ 2 1+ 2 u u u+v x = 2 2 = u +v x2 + y2

f

u y x
v

y

抽象函数的复合函数求导问题
?w ? 2 w 例 4 写法:设 w = f ( x + y + z, xyz),求 和 写法: . ?x ?x?z
?w = f1′ + yz f 2′; ?x
2

先画链式图

? w ? = ( f1′ + yzf 2′) ?x?z ?z
?f 2′ ?f1′ ; = + yf 2′ + yz ?z ?z

f
′′ ′′ + yz ( f 21 + xyf 22 )

′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′

x 1 y z x 2 y z

′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.

du 练*2】 【练* 】设 u = f ( R cos t , R sin t , vt ), 求 . dt 【解1】用观察法一步写结果

du = f1′ ? ( ? R sin t ) + f 2′ ? R cos t + f 3′ ? v dt
设中间变量( 【解2】设中间变量(舍)

先画链式图 1 t

f 2 t
3

t

令 x = R cos t , y = R sin t , z = vt , 则 u = f ( x , y , z )

du ?u dx ?u dy ?u dz ∴ = ? + ? + ? dt ?x dt ?y dt ?z dt

= f1′ ? ( ? R sin t ) + f 2′ ? R cos t + f 3′ ? v

【练*3】设z = f (sin x , cos y , e 练* 】
【解】 ?z = f ′ ? cos x + f 3′ ? e x + y 1

x+ y

?z ? z ), 求 , . ?x ?x?y
2

?x

先画链式图 1 x

? ?z ?2z ? ( ) = = ( f1′ ? cos x + f 3′ ? e x + y ) ? x ? y ?y ?x ?y

f 2
3

?f1′ ?f 3′ x + y e + f 3′ ? e x + y = cos x + ?y ?y
′′ = cos x[ f12 ? ( ? sin y ) +

y x y

′′ f13 ? e x + y

]

例5,例6课下自阅 例 课下自阅

′′ ′′ ? ( ? sin y ) + f 33 ? e x + y ]e x + y + f 3′ ? e x + y +[ f 32

练*4】 【练* 】设 z =

dz 求 . f ( u, v , x ) ,而 u = ? ( x ) , v = ψ ( x ) , dx

【解】 dz = ?f du + ?f dv + ?f dx ?u dx ?v dx ?x

先画链式图
u

= f1′? ′ + f 2′ψ ′ + f 3′

f v
x

x x

二.全微分形式不变性

、 、 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的 函数,它的全微分形式是一样的. 函数,它的全微分形式是一样的.

?z ?z dz = du + dv ; ?u ?v
全微分的四则运算公式: 全微分的四则运算公式:
d(u ± v) = du ± dv, d(u? v) = udv + vdu, ? u? vdu ? udv d? ? = v? v2 ? (v ≠ 0).

【类似例 7】设 z = e u sin v ,而 u = xy , v = x + y , 类似例 】

?z ? z 利用全微分形式不变性求 利用全微分形式不变性求 和 . ?x ? y

dz = d (e u sin v ) = e u sin vdu + e u cos vdv, 解: = e u sin v ( ydx + xdy ) + e u cos v ( dx + dy )
?z = e xy sin( x + y ) ? y + e xy cos( x + y ) ?x ?z = e xy sin( x + y ) ? x + e xy cos( x + y ) ?y

+ (e u sin v ? x + e u cos v )dy, = (e sin v ? y + e cos v )dx
u u


相关文档

  • 初中地理 第八章小结
  • 初中地理 第八章小结与复*
  • 第八章小结与复*
  • 学练优物理八下(人教版) 第八章小结与复*
  • 山东省威海市(人教版)高中物理选修33第8章《气体》同
  • 第八章 运动和力小结与复*本章要点
  • 八年级下册物理人教版课件:第八章小结与复*
  • 人教版地理 第八章小结
  • 人教版地理 第八章小结与复*
  • 猜你喜欢

  • 大数据背景下的我国现代医院管理制度改革
  • 唱片打一成语的答案 0000打一成语正确答案
  • 基于MOOC的研究生混合式教学的实践-精选教育文档
  • 福州市安监局:靠前服务有办法
  • 《我们!迈入了中学的第一步》
  • 腾讯视频怎样下载超清视频
  • 贵州都匀斗篷山景区导游词
  • 新目标英语七年级(上)Unit12单元要点检测题
  • 2019山东省高二寒假作业(4)物理语文
  • 历史考试常识题库
  • 山西省河津市第二中学2019届高三9月份月考地理试卷 含解析
  • 佛山市盛如商贸有限公司企业信用报告-天眼查
  • 高校大学生军事训练安全问题扫描及对策
  • 配套K12高中历史第二单元资本主义世界市场的形成和发展第8课第二次工业革命学案新人教版必修2
  • 2021年上海市培养单位分子细胞科学卓越创新中心820有机化学考研核心题库之基础有机化学选择题精编
  • 河南保监局关于设立中国人民人寿保险股份有限公司新郑支公司等5
  • 微知艏际跫笆驶傩匀砑?杓蒲芯
  • 门面联营合作协议
  • 时政热点:2014年5月6日时政热点汇总
  • 人生的追求基督教讲章
  • 凤凰卫视7月4日《总编辑时间》文字实录
  • 常见的小动物_图文.ppt-PPT精选文档
  • 母亲节感恩的作文
  • 【精品】2019年部编版二年级下册语文当堂达标题-3. 开满鲜花的小路(含答案)
  • 公共政策概论形成性考核册全答案[1]2
  • 走在青春的路上 初中精选作文【1000字】
  • 2018-2019学年安徽省六安市第一中学高二下学期周末检测(一)化学试题 扫描版
  • 【写故乡的作文】我的故乡850字
  • 家具公司介绍设计ppt模板
  • opencv-边缘检测
  • 年度回顾:2018年的人工智能/机器学习惊喜及预测19年的走势
  • 窗式空调的控制电路.
  • 精品推荐医学影像诊断PPT课件图文详解完整版-神经系统
  • 陪我谈一天恋爱
  • 二本大学就业有多难二本大学好找工作吗
  • 中国画的特点及分类
  • 基于UML的人力资源管理系统建模研究
  • 策划方案商场周年庆活动方案
  • 关于部长竞选的演讲稿
  • 医务人员个人防护用品使用的标准操作规程
  • 【精选】五年级上册数学课件-3.5 找质数 ?北师大版(2014秋 ) (共25张PPT) (1)
  • 夯实文化底蕴,创设特色环境
  • 电脑版